史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller）

美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erdős研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

如果你手里只有一把锤子, 那么你可能会不自觉地把所有东西都当作钉子来看待.

——亚伯拉罕·马斯洛, 《科学心理学》(1966)

概率论是一门涉及面非常广的学科. 它的应用相当广泛, 既可以应用于纯数学领域, 有时也会被一些职业赌徒利用. 任何一本书都无法涵盖概率论的所有应用. 不管是本书还是你上课使用的教材, 都不会把全面论述概率论的应用作为目标. 通常情况下, 教材会介绍一些一般性的理论和技巧, 并叙述概率论的若干应用和相关扩展阅读. 为了帮助教师更好地规划课程, 教材的最后通常会给出几章高阶内容.

本书既可以作为任何一本经典入门教材的补充材料, 也可以作为主要教材来使用, 因为它通过大量有解的题目以及对一般性理论的探讨来阐释概率论这门课. 我们会分析一些奇妙的问题, 并从中提炼出一些常用的技巧、观点和方法. 这样做的目的是让你学会独立完成模型的构造并解决相关问题, 进而断定什么样的问题才值得研究.

首先, 与阿德里安·班纳的《普林斯顿微积分读本》类似, 本书给出了大量有解的练习题. 在查阅答案之前, 你最好先看一看这些题目并花些时间做一做; 而本书也会给出所有题目的完整解答. 与很多书不同的是, 我们不会只给读者证明和例子, 而不给出具体的细节; 我建议你先试着做一下题目, 当有问题时再去查看相关细节.

其次, 概率论中的证明要比微积分中的证明多很多, 而这不应该让你感到吃惊. 学生通常会认为概率论在理论上的证明是极具挑战的, 而本书的主要目的就是帮助他们渡过这个难关. 整个附录A都在阐述证明技巧, 通过学习这部分内容, 你的证明技能会得到很好的锻炼和提升. 另外, 对于那些出现在概率论课上的典型结论, 其中绝大部分的完整解答都能在本书中找到. 如果你(或者你所学的课程)并不关心证明, 那么可以跳过其中很多论证, 但你至少应该浏览一下这部分内容. 尽管证明通常都很难, 但理解一个证明并不像给出一个证明那么困难. 进一步说, 在通常情况下, 我们只看证明过程就能理解定理想要表达的是什么, 或是知道该如何去运用它. 我的目的并不是给出结论的最简短证明, 而是通过细致的叙述来与你共同探讨如何去思考问题以及怎样着手证明结论. 此外, 在证明结论之前, 我们通常会花费大量时间去考察特殊情况, 这样就能对题目有直观的了解. 这是极其宝贵的技巧, 对你将来学到的很多课程都会有帮助. 最后, 我们会频繁讨论如何编写和执行代码来检验我们的计算结果是否正确, 或者让我们对答案有一定的认识. 如果想在 21 世纪的劳动大军中获得竞争优势, 那么你必须具备编程和模拟的能力. 能够写出一个简单的程序来模拟某个问题的100万种可能情况对我们来说是非常有用的, 这些结果通常会提醒你留意那些被遗漏的因素或其他错误.

在引言中, 我们将叙述三个有趣的问题, 涉及概率论中的不同内容. 除了有趣之外, 这些例子还能用来引入概率论中的很多核心概念. 对于本章中的其他内容, 我们会默认你已经非常熟悉概率论中的基本概念了. 不要慌张, 我们稍后将会详细地定义每个概念. 在这里, 我们要做的只是随意地聊一些有趣的问题, 并让你对概率论这门课有一定的认识. 不用担心无法准确地定义每个概念, 日常的生活体验已经为你提供了足够的背景知识. 我只希望能让你对这门课程有个大体的认识, 可以把美妙的数学展现在你眼前, 并激励你在接下来的几个月里专注地学好这门课并用好本书. 在后面几章里, 我们有大量的时间来把所有的细节补充完整.

那么, 不多说了, 我们来看第一个问题吧！